La fábula del ajedrez vs. el interés compuesto

El chaturanga es un antiguo juego originario de la India y del cual parece prevenir el ajedrez tal como lo conocemos hoy en día. Sin embargo, en el libro persa “Shāhnāmeh” del siglo XI (“El Libro de los Reyes” o “La Épica de los Reyes”, obra poética y la epopeya nacional del mundo de habla persa) se habla de una leyenda, la Leyenda de Sissa, sobre el origen del ajedrez. Bien es verdad que cuenta con varias versiones posteriores y todas ellas incorporan el mismo problema de progresión geométrica.

En el libro “El hombre que calculaba” (novela que al mismo tiempo se puede considerar como un libro de problemas y curiosidades) también existe una versión similar con el mismo argumento.

Dice la leyenda que, hace mucho tiempo, reinaba en la India un rey (dependiendo de la versión, tenía diferentes nombres: Sheram, Shihram, Rai Bhalit…) que perdió a su hijo en una de las batallas contra uno de sus enemigos y eso lo dejó profundamente triste, hasta el punto de que nada de lo que le ofrecían lograba alegrarle.

Un buen día, un tal Sissa, pidió audiencia con el rey para presentarle un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y recuperar la alegría que había pedido tras la muerte de su hijo. Ese juego era el ajedrez. Sissa le explicó las reglas del juego al rey y jugaron durante horas. El rey quedó maravillado con ese juego porque, además de quitarle la pena en la que estaba sumido, reflejaba la importancia de cada pieza y la necesidad de estrategia, cooperación y previsión.

El rey, agradecido por tan preciado regalo, le ofreció a Sissa, a modo de recompensa, lo que quisiera. El sabio de Sissa, después de reflexionar, le pidió algo aparentemente humilde: granos de trigo siguiendo un patrón geométrico en las casillas del tablero de ajedrez. Específicamente pidió que se le entregara un grano de trigo por la primera casilla del tablero, por la segunda 2 granos, 4 granos por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, 32 por la sexta y así sucesivamente, duplicando el número de granos en cada casilla hasta completar las 64 de las que está compuesto el tablero.

Al principio, el rey se burló de la solicitud, pensando que era una cantidad pequeña de grano y que era sumamente fácil de cumplir. Sin embargo, al calcular el toral, los matemáticos del palacio se dieron cuenta de que la cantidad de trigo era astronómica: ¡dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos! 18.446.744.073.709.551.615. En definitiva, el rey, que era inmensamente rico, no tenía esa cantidad de grano en sus silos para satisfacer la petición de Sissa. Es más, esa cantidad de grano no existía en el mundo. Según cálculos actualizados, atendiendo a la producción de grano anual, se necesitarían más de 1.000 años de producción mundial para poder cumplir con los deseos de Sissa.

¿Cómo se calcula la petición de Sissa? Se puede hacer duplicando manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a la serie geométrica:

T₆₄ = C₁+C₂+C₃+C₄+…+C₆₄

Donde T₆₄ es el número total de granos y C los granos de cada casilla.

Expresando la serie como exponentes quedaría:

T₆₄ = 2⁰+2¹+2²+…+2⁶³

Como curiosidad, el valor de la casilla 64 es:

9.223.372.036.854.775.808

También se puede resolver más fácil de la siguiente forma:

T₆₄ = 2⁶⁴ – 1

 

Potencia multiplicadora del interés compuesto

La fábula del ajedrez o leyenda de Sissa es un ejemplo que demuestra la potencia multiplicadora del interés compuesto, y que no se debe de despreciar su poder. La fábula y el interés compuesto tienen un principio común: ambos se basan en el crecimiento exponencial, un fenómeno en el que pequeñas cantidades iniciales pueden generar resultados inmensos con el tiempo.

Este paralelismo es una lección crucial en economía, educación y sociedad.

En el interés compuesto, el dinero crece exponencialmente porque los intereses se calculan sobre el capital inicial y sobre los intereses previamente acumulados, generando un efecto de “bola de nieve” con el tiempo.

La progresión en el tablero de ajedrez se vuelve importante solo después de muchas casillas. Aunque los primeros valores (1, 2, 4, 8, 16…) son pequeños, el crecimiento se dispara en las casillas finales debido a la acumulación. En el interés compuesto, el tiempo es un factor crítico. Cuanto más tiempo se permita que el interés compuesto opere, mayor será el importe, e incluso si el capital inicial o la tasa de interés son modestos.

En la leyenda, el rey subestimó el impacto de duplicar una pequeña cantidad a lo largo de las 64 casillas. En finanzas, algunas personas subestiman como pequeñas inversiones, cuando se dejan crecer con interés compuesto durante años, pueden generar grandes sumas.

La progresión de la petición de Sissa tiene un límite: el tablero de 64 casillas. Una vez alcanzada la última casilla, el crecimiento se detiene. En el interés compuesto, el crecimiento puede continuar indefinidamente, mientras haya tiempo y capital que genere intereses.

No confundir el interés compuesto con el interés simple: el interés simple, a diferencia del interés compuesto, no tiene en cuenta los intereses anteriores para poder generar nuevos intereses, por lo que solo se utiliza el capital inicial invertido para generar rentabilidad.

El impacto positivo que el interés compuesto tiene en la inversión del ahorro se ve claramente con “la regla del 72”. Dividiendo entre 72 la rentabilidad promedio de una inversión se obtiene el número de años que se necesitan para duplicar la inversión.

Para poder generar riqueza, como en el tablero de ajedrez, habrá que llegar a las últimas casillas, pues las primeras son las que menos generan. Se requiere mucha paciencia y perseverancia para comenzar a ver los efectos. Cuanto antes se comience a ahorrar e invertir mejor, por la riqueza que se pueda generar.

Moraleja

Tanto la leyenda del ajedrez como el interés compuesto muestran el poder de crecimiento exponencial. La primera es una lección ilustrativa que subraya cómo una idea aparentemente simple puede llevar a resultados sorprendentes, mientras que el interés compuesto demuestra esa idea en la práctica, mostrando cómo el tiempo y la acumulación pueden transformar pequeñas cantidades en grandes fortunas.

Se atribuye a Albert Einstein, aunque no está demostrado que lo dijese, la frase de que la fórmula del interés compuesto es “la fuerza más poderosa del mundo” o que “el interés compuesto es la octava maravilla del mundo. Aquel que lo entiende, lo gana; aquel que no, lo paga”. Einstein, como científico y matemático, entendía perfectamente el impacto del crecimiento exponencial, tanto en la naturaleza como en el mundo financiero. La supuesta frase de Einstein subraya una verdad universal: el interés compuesto es una herramienta poderosa que recompensa a quienes lo entienden y lo aplican.

El interés compuesto es una manifestación de “el efecto Mateo” en el ámbito financiero: son dos caras de la misma moneda. Al igual que en el efecto Mateo, el interés compuesto crea un sistema en el que los que tienen más (capital, tiempo, conocimiento…) tienden a ganar más, mientras que los que tienen menos suelen quedarse atrás.

Este paralelismo es una lección crucial en economía, educación y sociedad.